【数学模試解説】2022年度1月第4回河合塾高2全統記述模試全問解説

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■問題文
大問1：小問集合
(1)AB＝5,BC＝7,CA＝6の三角形ABCがある。cos∠BACの値と三角形ABCの外接円の半径を求めよ。
(2)aは実数の定数とする。xの2次方程式x²-2ax+5a-6=0が異なる2つの正の解をもつようなaの値の範囲を求めよ。
(3)方程式x³-4x²+8=0を解け。
(4)mは実数の定数とする。座標平面における原点Oと直線y=mx+m+2の距離が2より大きくなるようなmの値の範囲を求めよ。
(5)実数xが、2^x+2^(-x)=3を満たしている。4^x+4^(-x)の値を求めよ。
(6)方程式log4(5x-1)=log2(2x-1)を解け。
大問2：三角関数
(1)sinπ/12,cosπ/12の値を求めよ。
(2)Oを原点とするxy平面上にOを中心とする半径1の円Eがあり、E上に3点A(0,-1),B(-√3/2,1/2), C(1/2,-√3/2)がある。また、Eの上に点Pをとり、P(cosθ,sinθ)(0≦θ≦π/2)とするとき、LをL＝AP²＋BP²＋CP²と定める。
(i)Lをθで表せ。
(ii)θが0≦θ≦π/2を変化するとき、Lの最大値、最小値とそれを与えるθの値を求めよ。
大問3：場合の数
1,2,3,4,5,6,7,8,9の9枚のカードをA,B,Cの3人に3枚ずつ配る。
(1)カードの配り方は全部で何通りあるか。
(2)Aのカードの番号がいずれも2の倍数であるような3人への配り方は何通りあるか。
(3)Aのカードの番号の積が3の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。
(4)A,B,Cのカードの番号の積がそれぞれ6の倍数となるような3人への配り方は何通りあるか。
大問4：微分法
aを正の定数とし、関数f(x)をf(x)=x³-ax²+4a-8とする。
連立不等式y≧f(x),y≦f(0),x≧0を満たす整数の組(x,y)の個数をN(a)とする。
(1)a=2のとき、f(x)の増減、極値を調べ、y=f(x)のグラフの概形をかけ。
(2)N(2)を求めよ。
(3)f(x)の極大値をMとする。曲線y=f(x)と直線y=Mの共有点のx座標のうち、正であるものを求めよ。
(4)aを9/4＜a＜5/2を満たす定数とするとき、N(a)=N(2)となるようなaの値の範囲を求めよ。
大問5：数列
rは0以外の実数とする。数列a[n]は、a₁=1,a[n+1]=ra[n] (n=1,2,3,…)を満たしている。また、この数列a[n]に対して、数列b[n]を、b₁=-1,b[n+1]=2b[n]+a[n] (n=1,2,3,…)によって定める。
(1)数列a[n]の一般項を求めよ。
(2)数列c[n]を c[n]=b[n]/r^n によって定める。
(i)c[n+1]をrとc[n]を用いて表せ。
(ii)数列c[n]の一般項を求めよ。
(3)S[n]=Σb[k](k=1～n)とする。r=2のとき、S[n]を最小にする正の整数nの値をすべて求めよ。また、r=4のとき、S[n]を最小にする正の整数nの値をすべて求めよ。

■チャプター
0:00 オープニング
0:05 大問1の問題文
0:10 (1)解説：cos、面積
4:41 (2)解説：解の配置
6:57 (3)解説：高次方程式
9:29 (4)解説：点と直線の距離
11:35 (5)解説：指数の対称式
13:02 (6)解説：対数方程式
15:47 大問2の問題文
15:52 (1)の解説：sinπ/12、cosπ/12の値
17:15 (2-i)の解説：Lをθで表せ
20:21 (2-ii)の解説：Lの最大最小
23:47 大問3の問題文
23:52 (1)の解説：カードの分け方
25:12 (2)の解説：いずれも2の倍数
25:59 (3)の解説：積が3の倍数
27:07 (4)の解説：積が6の倍数
30:00 大問4の問題文
30:05 (1)の解説：グラフの概形
32:31 (2)の解説：格子点の個数
33:25 (3)の解説：f(x)と極大値の交点
35:06 (4)の解説：格子点が4個になるとき
38:22 大問5の問題文
38:27 (1)の解説：等比数列の一般項
39:12 (2-i)の解説：指数型の式変形
40:39 (2-ii)の解説：等差型と特性方程式型
44:12 (3)の解説：和が最小になるとき
48:23 エンディング