【数学】2023年度第3回高2模試全問解説

動画について不明点や質問などあればコメント欄にお気軽にお書きください！

質問解決D.B.（データベース） – 算数・数学・英語・理科等の問題別・単元別の解説動画のまとめサイトです。

トップページ

2023年度第3回記述高2模試全問解説動画です！

■問題文
2023年度第3回高2記述模試全問解説
大問1：小問集合
(1)実数xの2次方程式2x²-3x+1＜0を解け。
(2)(3x+y)⁴を展開したときのx²y²の係数を答えよ。
(3)5つの文字A,B,C,D,Eを円形に並べる方法は何通りか。
(4)次のデータの平均値は3であるとする。1,2,3,7,a。aの値を求めよ。また、このデータの分散を求めよ。
(5)mは実数の定数とする。xy平面上の2直線l₁:3x-y+5=0,l₂:mx+2y+4=0が垂直になるとき、mの値を求めよ。
(6)実数xの方程式4^x=2√2を解け。
(7)実数x,yについて、x＞0かつy＞0であることは、xy＞0であるための何条件か?
(選択肢)①必要十分条件である。②必要条件であるが、十分条件ではない。③十分条件であるが、必要条件ではない。④必要条でも、十分条件でもない

大問2-1：高次方程式
a,bを実数の定数とする。xの3次式P(x)=x³+(2a-1)x²-(a²+2a-2)x+bがあり、3次方程式 P(x)=0がx=1を解にもつ。
(1)bをaを用いて表せ。
(2)P(x)を1次式x−1で割ったときの商をaを用いて表せ。
(3)3次方程式P(x)=0において、異なる実数解の個数が2となるようなaの値を求めよ。

大問2-2：確率
赤球1個と白球1個と青球1個の合計3個の球が入った袋がある。この袋から 1個の球を取り出しその色を確認して袋に戻すことを、繰り返し5回行う。
(1)5回とも赤球が取り出される確率を求めよ。
(2)5回のうち、赤球が2回取り出され、かつ白球が3回取り出される確率を求めよ。
(3)3種類の色の球が取り出される確率を求めよ。

大問3：図形と方程式
mを実数の定数とする。Oを原点とするxy平面上に点(2,3)を通り、傾きがmの直線がある。また、2点A(1,0),B(-1,0)があり、軸上のy＞0の部分にある点Cが∠ACB=90°を満たしている。
(1)lの方程式を求めよ。また、Cの座標を求めよ。
(2)点Cと直線の距離をdとする。dをmを用いて表せ。
(3)不等式y＞0の表す領域内の点Pが∠APB=45°を満たして動くとき、Pが描く図形をKとする。
(i)Kはある円の一部である。その円の中心の座標と半径を求めよ。
(ii)aを正の定数とし、Kと線分AB (両端を含む)で囲まれる領域(境界を含む)をDとする。点(x,y)がD上を動くとき、(y-a)/(x-2)の最大値をM(a)とする。M(1/2)とM(3)をそれぞれ求めよ。

大問4：三角関数
kはk≧1を満たす定数とする。下の図のように、OB=1,∠OAB=π/2,∠AOB=θ(0＜θ＜π/4)である直角三角形OABがある。また、半直線OA上に点Pを、OP=2kABを満たすようにとる。
(1)辺OAの長さをを用いて表せ。また、線分OPの長さをk、θを用いて表せ。
(2)sinθcosθをsin2θを用いて表せ。また、sin²θをcos2θを用いて表せ。
(3) BP²をk, sin2θ,cos2θを用いて表せ。
(4-i) k=1とする。θが0＜θ＜π/4の範囲を変化するとき、BP²の最小値を求めよ。また、そのときのθの値を求めよ。
(4-ii) k＞1とする。θが0＜θ＜π/4の範囲を変化するとき、BP²のとり得る値の範囲をkを用いて表せ。

大問5：微分法
3次関数 f(x)=x³+kx²-kx+k²がある。ただし、kは実数とする。
(1)f'(−1)=0とする。
(i)kの値を求めよ。
(ii)0≦x≦1におけるf(x)の最大値と最小値を求めよ。
(2)f(x)はx＞0の範囲に極大値と極小値をもつとする。
(i)kのとり得る値の範囲を求めよ。
(ii)f(x)の極大値と極小値の和をS(k)とする。kの値が(2-i)で求めた範囲を変化するとき、S(k)の最大値を求めよ。

大問6：数列
数列a[n]をa₁=1/√2,a₂=√2,a[n+2]a[n+1]-a[n+1]a[n]=n+1(n=1,2,3,…)により定める。また、数列b[n]をb[n]=a[n+1]a[n](n=1,2,3,･･･)により定める。
(1)b₁を求めよ。また、b[n+1]をb[n]を用いて表せ。
(2)数列b[n]の一般項を求めよ。
(3)c[n]=√2a[n]/n(n=1,2,3,…)とおく。c[n+1]をc[n]を用いて表せ。また、数列c[n]の一般項を求めよ。
(4)a[n]＞50を満たす最小の正の整数の値をNとするとき、∑[k=1～N] (2k+1)/a[n+1]²a[n]²を求めよ。

■チャプター
0:00 オープニング
0:05 第1問の問題文：小問集合
0:10 (1)2次不等式
1:10 (2)二項定理
2:17 (3)円順列
2:44 (4)データの分析
4:13 (5)2直線が直交
5:02 (6)指数方程式
5:48 (7)命題

7:12 第2問-iの問題文：高次方程式
7:17 (1)bをaで表す
8:28 (2)因数定理
11:53 (3)方程式の解

13:16 第2問-iiの問題文：確率
13:21 (1)5回とも赤玉
14:03 (2)2回赤、3回白
13:51 (3)3種類の色が取り出される確率

16:55 第3問の問題文：図形と方程式
17:00 (1)前半：直線の方程式
18:14 (1)後半：点Cの座標
19:00 (2)点と直線の距離
20:19 (3-i)円の軌跡
21:32 (3-ii)前半：M(1/2)の値
23:44 (3-ii)後半：M(3)の値

25:51 第4問の問題文：三角関数
25:56 (1)OAとOPの長さ
27:35 (2)2倍角
28:30 (3)余弦定理
29:52 (4-i)BP²の最小値
33:02 (4-ii)BP²の範囲

36:09 第5問の問題文：微分法
36:14 (1-i)kの値
37:12 (1-ii)最大最小
39:28 (2-i)解の配置
43:09 (2-ii)極値の和の最大値

48:34 第6問の問題文：数列
48:39 (1)bnの関係式
50:13 (2)階差数列の一般項
51:52 (3)cnの一般項
54:29 (4)式の値、BBBの利用
59:18 エンディング

■関連動画
【数学】2023年度第2回高2模試全問解説 ※第6問(3-ii)に訂正あり（概要欄）